Über zweitausend Jahre lang wurde Geometrie nach axiomatischen Aufbau des Euklid gelehrt. Näheres dazu in dem Artikel über sein Buch Die Elemente.

Grundelemente der euklidischen Geometrie der Ebene sind Punkte und Geraden, welche Punkte verbinden. Geraden wiederum schneiden sich in Punkten. Aus diesen Grundelementen entsteht eine Geometrie, in der u.a. Dreiecke, Vierecke, n-Ecke, Winkel und Kreise enthalten sind.

Die fünf Euklidischen Axiome der Geometrie sind:

1. Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt ziehen.
2. Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern.
3. Um jeden Punkt kann man einen Kreis beliebigen Radiuses schlagen.
4. Alle rechten Winkel sind einander gleich.
5. (Parallelenaxiom): Wenn eine Strecke zwei andere Strecken derart schneidet, so dass die beiden inneren Schnittwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich die beiden Strecken, wenn sie weit genug verlängert werden, auf der Seite, auf der die Schnittwinkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind.

Seit der Antike wurde versucht, das 'unbeholfen' erscheinende Parallelenaxiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten. Erst in dem 19. Jahrhundert entdeckten Carl Friedrich Gauß, János Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski unabhängig voneinander die nichteuklidische und die absolute Geometrie. Erstere ersetzt das Parallelenaxiom durch andere Axiome, letztere arbeitet ganz ohne das Konzept von Parallelen.

Analog entwickelte Leonard Euler die Affine Geometrie durch Herauslassen des 3. und 4. Axioms, welche in der Speziellen Relativitätstheorie (Minkowskiraum) wichtig ist.

Eine minimale Geometrie entsteht, wenn man ca. das 1. und 2. Axiom benutzt. Die dabei entstehende Geordnete Geometrie ist von Interesse, da ihre Sätze in allen oben genannten Geometrien wahr sind.

Gegen Ende des 19ten Jahrhunderts wurde das Axiomensystem des Euklid zu dem Vorbild für den axiomatischen Aufbau der gesamten Mathematik. Dabei wurde erkannt, dass das Euklidische System lückenhaft ist: um die vertraute "Euklidische" Geometrie zu erhalten, muss man zusätzliche Axiome einführen (z.B. das Axiom von Pasch).

Unter den modernen Axiomensystemen ist das von David Hilbert am bekanntesten geworden (Grundlagen der Geometrie, Teubner 1900 [?], zahlreiche Neuauflagen). Die Axiomgruppen nach Hilbert sind:

1. Axiome der Verknüpfung (Inzidenz)
2. Axiome der Anordnung
3. Axiome der Deckungsgleichheit (Kongruenz)
4. Axiom der Parallelen (Parallelenaxiom)
5. Axiome der Stetigkeit (Archimedisches Axiom)